Инфекционных стационаров в принципе в городе мало. Не очень далеко от Тихорецкого ветклиника Ветус, вроде там есть инф. стационар, Вы туда звонили?
Ещё неподалёку есть клиника Толстый Лори Бестужевская 10, там тоже есть инф. стационар.
https://lorivet.ru Вообще если у кота ринотрахеит ( вирусное видовое кошачье заболевание с «простудной» симптоматикой), то ему достаточно домашней передержки с медуходом. Стационар все же недёшев.
Сейчас надо найти того, кто живет поблизости и сможет поискать кота. Вряд ли кот столько времени находится на одном месте.
Искать помощь лучше ВК, здесь на форуме сейчас совсем мало народа.
Сделайте пост ВК о помощи с поиском и отловом кота, сюда выложите ссылку на пост, будем делать репосты.